Saturday, November 3, 2007

轉貼 旅人兩難、美元拍賣以及膽小鬼遊戲


出處 右手之外
爛蘋果追逐猶如「旅人兩難」,競相喊價則似「美元拍賣」,最後的玉石俱焚將以「膽小鬼遊戲」作收!

數學家樂此不疲的「賽局理論」常讓人深深著迷,嗯…..好吧,至少讓我著迷,主要因為賽局提供了一套系統性的分析方法,尋求在利害衝突下的最佳策略,以牟 取己方的最大利益。賽局中的多方,必須預測出在不同狀況下不同策略的互相影響,研訂前不僅考慮他方的計算,還要計入他方計算到我方考慮下的考慮,有點類似 追著尾巴跑的小狗。但賽局是否一定有解?根據理論得到的解是否便是最佳解?

「旅人兩難」(Traveler’s Dilemma)由巴蘇(Kaushik Basu)在1994年設計,目的是為了質疑狹隘的理性行為與認知過程,以凸顯理性的邏輯悖論。假設兩名旅客從某小島旅遊回來,結果發現他們托運的同款骨 董給震壞了,航空公司願意賠償,只是無從鑑價,又怕兩位旅客藉機哄抬價格,因此設計了一個比較複雜的方法。他要求兩位旅客在未經討論的情況下,寫下這個骨 董的價格,譬如2~100元之間。如果兩個人寫的價格一樣,便以此價格賠償他們;但是如果價格不同,便假設較低的數字為真實價格,出價較低者得到2元的獎 勵,而價格寫高的旅客被罰2元。在這種情況下,應該怎麼出價?

如果完全按照賽局理論,最後的平衡位置是2元!這真是讓所有人大吃一驚、完全悖離經驗的結論!邏輯如下:每個人一開始的直覺想法是100,因為如果對方也 一樣的話,雙方就可以賺到100元,但多想一想,如果自己選擇99的話,豈不是可以賺到101?不過,對方很顯然也會想到這一點,這樣兩人就變成99反而 少了1,於是選98會比較好(因為可能得到100),但同樣的道理也會讓對方也寫下98,這時退而求其次的選擇97,並且以此類推。合乎邏輯的推論結果會 讓雙方的選擇一路往下掉,最後停在最小數:2!

研究上述賽局時,必須提到納許均衡解(Nash equilibrium)的概念,納許(John F. Nash, Jr.)便是電影「美麗境界」中那位傳奇教授,當符合納許均衡解時,任何一方都無法藉由單方面改變自己的選擇而取得更好的報酬,所以均衡解的答案是2。但 實際進行時,大部份人 - 包括不用邏輯思考及十分清楚自己明顯背離理性的人,都選擇100或接近100的數。美國維吉尼亞大學幾位教授曾以經濟系的學生進行實驗,選擇的範圍從 80~200美分。根據邏輯,納許均衡解永遠是80,但實驗結果證實一般人並不會如此選擇,如果賞罰金額是5分錢時,平均選擇是180美分,很顯然如果不 受理性限制,反而可以獲得更多報酬!

「美元拍賣」是更早以前的經典賽局,由美國耶魯大學經濟學教授舒比克(Martin Shubik)於1971年所提出,當初創造的目的主要是為了能在實際生活中真正去玩的遊戲,規則很簡單:1. 人人都可獨立喊價,出價最高者得標;2. 出價次高者必須付出自己的出價。舒比克說道:「經驗顯示,進行這個遊戲的最佳時機是在派對上,大家都喝了一些酒,情緒高漲,至少在兩次報價前,誰也不會去 認真」。以1美元作為拍賣標的,當底價是1美分時,由於絕對有利可圖,所以不怕沒人出價,但第二人出價後,在不願賠錢的心理下氣氛逐漸升高,到了接近1美 元的時節,拍賣進入了微妙的變化,出價者將出現稍許遲疑而冷卻一下,但1.01美元總比損失0.99美元來得小,所以一旦突破,則從「有利」的心裡轉變為 「減少損失」,開始進入了決鬥狀態,每喊出來的新報價,似乎可以使自己的地位稍作改善,但他的真實處境卻只會越來越壞,可能的損失也持續增大,一直到理性 佔據上風或不堪負荷時,根據多次實驗的結果,每場賽局最後都以3~5美元結標!

美元拍賣是完全非理性的賽局,也是屬於無均衡解的賽局,有沒有辦法改善?除了一開始便放棄出價外,舒比克寫道:「單單用賽局理論去分析,恐怕永遠也無法確切解釋其過程」!

至於「膽小鬼遊戲」則是羅素(Bertrand Russell)在1959年出版的「常識與核武戰爭」中所描寫的古典賽局,其實應取自於《養子不教誰之過》(1955)電影中,詹姆士狄恩(James Dean)和其他叛逆少年玩的衝向懸崖索命遊戲,但羅素的版本反而成為經典,規則如下:在一條筆直大道上兩輛車相對疾駛,即將相撞的一剎那,哪一方先打方 向盤駛出則輸,贏的一方大聲嘲笑對方「膽小鬼」!

這個賽局最糟的結局當然是雙方毫不退讓,在猛烈的碰撞後一起身亡;次糟的結局是自己成為膽小鬼而讓對方耀武揚威,不過至少可以保住小命,但一旦怯弱而身負 「膽小鬼」的名聲後,很快的將被其他參賽者予取予求;最大的贏家將是毫無理性、從頭到尾都悍不畏死的參賽者,當其他參賽者知道要不就與他同歸於盡,要不就 當個膽小鬼時,非理性的參賽者將無往不利。對於這種賽局,羅素寫道:「沒有責任感的孩子們玩,只不過讓遊戲者的生命去冒險,但是當一些名聲顯赫的政治家玩 起這種遊戲時,拿來冒險的還有千千萬萬人的生命了」。美蘇兩強在冷戰時期的相互恫嚇便是典型的「膽小鬼遊戲」,而羅素本人在1962年的古巴危機中則扮演 了相當微妙的傳話角色。

純粹的理性在不同的賽局不一定能保證獲利,每一種賽局也不一定出現均衡解,而均衡解與最佳解常常又是兩回事。回頭看看今日國內兩大陣營相爭的賽局,在相互 扯爛污的爛蘋果比賽中,是不是頗似「旅人兩難」下,將雙方扯到最低點的平衡位置?當一團污泥的爛無可爛時,很弔詭的,這是最理性的結果,選民的眼睛烏漆嘛 黑一片看也看不清。至於漫天喊價的互開支票,則頗有「美元拍賣」的架勢,各種經濟、建設、社福大餅一項一項的吹捧,開出來的價碼一次比一次高,藉此拿下政 權歡騰一時,但卻讓自己當政後的情勢越來越糟。不過,最害怕的當然是「膽小鬼遊戲」了,因為揚棄理性可能獲得最大利益,一旦雙方都得到這種結論時,沒有人 願意擔負「膽小鬼」的惡名,鷹派氣勢大盛、對話中斷,在一陣震天巨響的撞擊後,灰飛煙滅、死傷遍野、眾民哀嚎,沒有任何一方得利!

參考:
1. 科學人2007年7月號。
2. 「囚犯的兩難—賽局理論與數學天才馮紐曼的故事」,左岸文化,2007/3/29。

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